Гармоничный шор звуків

Тота статя (або їй часть) не є писана жаднов русиньсков нормов.

Можете Вікіпедії помочі тым, же єй вылїпшыте переведжінём на літературный русиньскый язык.

Гармоничный шор, тыж ряд вадь серія звуків ^[1] — наступа звуків, де основа ^[2] каждого звука ― рувно дїлимоє основї майнизшого звука;^[3]^[4] тыж называют верьхная натуралная гармоничная шка́ла ^[5] лебо натуралный ци обертоновый звукоряд.^[6]^[7]

У звука гармонічного шора ачий имня алiквотный, парцiальный, частичный тон вадь обертон. ^[8]^[9] Штобы писати вадь говорити про обертоны и частичные тоны чісленно, гія правильно нумеровать каждый без плутанини міджі ними: другый обертон не ачий третїй частичный тон, потому что это другый звук шора,^[10] чом и першый частичный тон, вадь фундаментал, ачий першым обертоном, кой гія.

Психофізічные свойства едітовати

C

-со́звук^[11] з першы вӱ́сям обертоны.

Одночасне звучання усіх обертонів гармонічного ряду утворює так званий со́звук (анґліцька сторінка),^[12]^[13] зазвичай чутний як одна висота^[14] на рівні фундаменталу, тобто найнижчого, першого партіалу.^[15] Тембр співзвуку залежить від розподілу гучності на множині усіх партiалів та може переміщати відчуття висоти співзвука на рівень другого чи третього або якогось іншого партiалу у окремих випадках близької до нуля гучності деяких партiальних підмножин.

Обертон як частковий чи партіальний тон, на відміну від частки чи партіалу, не єдиний чистий тон,^[16] але складний звук,^[17] утворений особливою підмножиною партіалів будь-якого співзвуку, тобто співзвук у співзвуці, чому є докладний опис^[18] та нотний приклад:

Оскільки будь-який даний співзвук завжди містить в собі інші співзвуки, він безумовно існує як співзвук у складі самого себе і може бути співзвуком у складі іншого співзвуку, висота якого сприймається неодмінно як більш низька і завжди відповідає частоті стимулу целочисельно кратної частоті стимулу з відчуттям висоти даного співзвуку. Іншими словами усякий співзвук є обертоном деякого унтертону,^[19] включаючи випадок коли співзвук є першим обертоном свого першого унтертону, тобто самого себе. Низхідна послідовність усіх співзвуків, що містять у собі один і той же даний співзвук утворює унтеральну ска́лу:^[20]

Ноти наочно показують те, що математично виглядає як не менш наочний вираз:

$\left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {2}{1}}]\\c^{1}[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}\subseteq \left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {2}{1}}]\\c^{1}[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\},~\left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {4}{2}}]\\c^{1}[{\frac {2}{2}}]\end{matrix}}\right\}\subset \left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {4}{2}}]\\g^{1}[{\frac {3}{2}}]\\c^{1}[{\frac {2}{2}}]\\~~c[{\frac {1}{2}}]\end{matrix}}\right\},~\left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {6}{3}}]\\c^{1}[{\frac {3}{3}}]\end{matrix}}\right\}\subset \left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {6}{3}}]\\a^{1}[{\frac {5}{3}}]\\f^{1}[{\frac {4}{3}}]\\c^{1}[{\frac {3}{3}}]\\~~f[{\frac {2}{3}}]\\~F[{\frac {1}{3}}]\end{matrix}}\right\},\cdots ,~\left\{{\begin{matrix}\vdots \\c^{2}[{\frac {20}{10}}]\\c^{1}[{\frac {10}{10}}]\end{matrix}}\right\}\subset \left\{{\begin{matrix}\vdots \\~~~c^{1}[{\frac {20}{10}}]\\ces^{2}[{\frac {19}{10}}]\\bes^{1}[{\frac {18}{10}}]\\~~~a^{1}[{\frac {17}{10}}]\\~as^{1}[{\frac {16}{10}}]\\~~~g^{1}[{\frac {15}{10}}]\\ges^{1}[{\frac {14}{10}}]\\~~~f^{1}[{\frac {13}{10}}]\\~es^{1}[{\frac {12}{10}}]\\des^{1}[{\frac {11}{10}}]\\~~~c^{1}[{\frac {10}{10}}]\\~bes[{\frac {9}{10}}]\\~~as[{\frac {8}{10}}]\\~ges[{\frac {7}{10}}]\\~~es[{\frac {6}{10}}]\\~~~~c[{\frac {5}{10}}]\\~As[{\frac {4}{10}}]\\Es_{1}[{\frac {3}{10}}]\\As_{1}[{\frac {2}{10}}]\\As_{2}[{\frac {1}{10}}]\end{matrix}}\right\},\cdots$

Вертикальний гармонічний ряд або співзвук, як різновид складного звуку, робить активними нервові волокна деякої групи, що розділена групами неактивних волокон, притому активні волокна відповідають партіалам. Властивості нервових волокон окремо проводити відчуття відповідного для кожного з них партіалу розвиваються, ймовірно, ще до народження організму, під впливом невтомного звуку серця матері. Взаємодія нервових волокон у процесі сприйняття партіалів декількох складних звуків робить істотний вплив на загальну оцінку приємності/неприємності одержуваних відчуттів. У разі сприйняття декількох співзвуків не викликає сумнівів залежність відчуттів консонансу/дисонансу від виражених раціональними числами співвідношень частот фундаменталів.^[21]

Значну роль у сприйнятті співзвуку грає здатність його партіалів колективно відтворювати відчуття висоти відсутнього фундаменталу, або якогось іншого партіалу з таких найбільш відчутних, тобто низькочастотного у даному співзвуці партіалу.^[22] Тому й висота сприйняття співзвуку у цілому є відчуттям точного унісону між висотою окремо узятого фундаменталу та висотою колективно її виражаючого резідууму, як множини усіх партіалів даного співзвуку без фундаменталу, тобто найнижчого з партіалів.

Музична нотація едітовати

Декілька нотних прикладів письмової нотації обертонів гармонічного ряду звуків указують на існування плутанини у позначенні висот 11-го та 13-го обертонів.

Для надійного письмового запису висот обертонів гармонічного ряду є особливий нотний приклад,^[23] який може допомогти:

Дотримання правопису, що дав Мерсен для розподілу октави на 12 недотонов,^[24] переконує, що у першом приближыни (без енгармонічных, тота єст мікротоновых, виправлень) найбарже вірна ачий, наприклад, музична нотація Кетлін Шлезінгер (анґліцька сторінка)^[25]:

${\mathsf {H}}$ ARMONIC ${\mathsf {S}}$ ERIES IN ${\mathsf {C}}$

Нотація Шлезінгер, продовжена за правописом Мерсена до 32-го обертону з натякаючими на уточнення фіктами над нотами і подвійними номерами під нотами виглядає так:

Відомо, що будь-яка ска́ла, а натуральна особливо, тісно пов'язана з піфагорійськимы висотамы (україньска сторінка).^[26]^[27]^[28] Таке порівняння виявляє у множині перших 32-х обертонів фрагмент піфагорійського ланцюжка з 3-х чистих квінт,^[29] утворений чотирма обертонами з номерами 8, 12, 18, 27; і підмножыну обертонов піфагорійськых высот, што містить не толькы перераховани обертоны, але и такие з октавных ланцюжкив, де знаходятся ци перераховани. Цей факт наочно демонструє відношення на множині матричної будовы, што відображає висоты нотного приклада із залученням буквеной нотацыи Гельмгольца, де приставками $\theta$ (від ґрец. Πυθαγόρας) відзначени піфагорійськи ноти і стрілками $\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow$ ― ланцюжок чистих квінт:

$\left\{{\begin{matrix}:&&:&&:&&:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]\\&&&&&&\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]\\&&\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]&&&\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow \\&&&&\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]&&&\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow \\&&\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\&\swarrow \!\!\!\!\!\!\nearrow &&&\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\&&\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\&&\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}\subset \left\{{\begin{matrix}:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]~~\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-c^{3}[{\frac {31}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{3}[{\frac {30}{1}}]}\\^{+bes^{3}[{\frac {29}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{3}[{\frac {28}{1}}]}\\\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]~~\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{3}[{\frac {26}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-gis^{3}[{\frac {25}{1}}]}\\\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]\\^{+fis^{3}[{\frac {23}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\^{+f^{3}[{\frac {22}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-f^{3}[{\frac {21}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{3}[{\frac {20}{1}}]}\\^{+es^{3}[{\frac {19}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-cis^{3}[{\frac {17}{1}}]}\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{2}[{\frac {15}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{2}[{\frac {14}{1}}]}\\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\\\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{2}[{\frac {10}{1}}]}\\\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{1}[{\frac {7}{1}}]}\\\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{1}[{\frac {5}{1}}]}\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}.$

Підмножина не піфагорійських обертонів залишається після видалення піфагорійської підмножини з множини усіх обертонів ряду:

$\left\{{\begin{matrix}\left\{{\begin{matrix}&&&&&&.\cdot \\&&&&&\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-c^{3}[{\frac {31}{1}}]}\\&&&&^{+bes^{3}[{\frac {29}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\&&&\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-gis^{3}[{\frac {25}{1}}]}\\&&^{+fis^{3}[{\frac {23}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\&^{+es^{3}[{\frac {19}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-cis^{3}[{\frac {17}{1}}]}\\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\equiv \left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{3}[{\frac {26}{1}}]}\\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\equiv \left\{{\begin{matrix}&&.\cdot \\&^{+f^{3}[{\frac {22}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{1}[{\frac {7}{1}}]}\left\{{\begin{matrix}&&&&.\cdot \\&&&{\widetilde {\theta {c^{1}[{\frac {4}{1}}]}}}\\&&{\widetilde {\theta {g[{\frac {3}{1}}]}}}\\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\\\cup \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{1}[{\frac {5}{1}}]}\left\{{\begin{matrix}&&&&&.\cdot \\&&&&{\widetilde {\theta {g^{1}[{\frac {6}{1}}]}}}\\&&&{\widetilde {\theta {c^{1}[{\frac {4}{1}}]}}}\\&&{\widetilde {\theta {g[{\frac {3}{1}}]}}}\\&{\widetilde {\theta {c[{\frac {2}{1}}]}}}\\{\widetilde {\theta {C[{\frac {1}{1}}]}}}\\\end{matrix}}\right\}\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]~~\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-c^{3}[{\frac {31}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{3}[{\frac {30}{1}}]}\\^{+bes^{3}[{\frac {29}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{3}[{\frac {28}{1}}]}\\\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]~~\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{3}[{\frac {26}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-gis^{3}[{\frac {25}{1}}]}\\\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]\\^{+fis^{3}[{\frac {23}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\^{+f^{3}[{\frac {22}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-f^{3}[{\frac {21}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{3}[{\frac {20}{1}}]}\\^{+es^{3}[{\frac {19}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-cis^{3}[{\frac {17}{1}}]}\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-b^{2}[{\frac {15}{1}}]}\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{2}[{\frac {14}{1}}]}\\\pitchfork \!\!\!\!\!\searrow _{-a^{2}[{\frac {13}{1}}]}\\\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\^{+f^{2}[{\frac {11}{1}}]}\nwarrow \!\!\!\!\!\!\theta \\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{2}[{\frac {10}{1}}]}\\\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-bes^{1}[{\frac {7}{1}}]}\\\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta \!\!\!\!\!\!\searrow _{-e^{1}[{\frac {5}{1}}]}\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}\setminus \left\{{\begin{matrix}:\\\theta c^{4}[{\frac {32}{1}}]\\\pitchfork a^{3}[{\frac {27}{1}}]\\\theta g^{3}[{\frac {24}{1}}]\\\theta d^{3}[{\frac {18}{1}}]\\\theta c^{3}[{\frac {16}{1}}]\\\theta g^{2}[{\frac {12}{1}}]\\\theta d^{2}[{\frac {9}{1}}]\\\theta c^{2}[{\frac {8}{1}}]\\\theta g^{1}[{\frac {6}{1}}]\\\theta c^{1}[{\frac {4}{1}}]\\\theta g[{\frac {3}{1}}]\\\theta c[{\frac {2}{1}}]\\\Theta C[{\frac {1}{1}}]\end{matrix}}\right\}.$

Перекладення на ноти цього вираження теорії множин відповідає партитурі:

$=$

$\setminus$

Кой непіфагорійськи висоты сравнивати з підходящимы піфагорійськимы, то першы відрізняються від другых на нявелики інтервали, звани комами (україньска сторінка), серед різноманіття яких є одна з найбільш відомих ― синтонічна кома Дідима (російска сторінка) ^[30] (подальше позначення $\Delta \iota {,}$ ― від ґрец. Δίδυμος ― для підвищення, та інвертоване ― $\iota \Delta {,}$ ― для пониження):

${\begin{array}{lclcl}\Delta \iota {,}&=&1200\cdot \log _{2}(81/80)&\approx &+21{,}51{\cancel {\mbox{C}}}[{\mbox{Cent}}];\\\iota \Delta {,}&=&1200\cdot \log _{2}(80/81)&\approx &-21{,}51{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}$

Ги непифагорийскы висоты $e^{1}[5],e^{2}[10],b^{2}[15]$ ачий отриманы з піфагорійскых $\theta e^{1}[81/16],\theta e^{2}[81/8],\theta b^{2}[243/16]$ путём понижения последних на $\iota \Delta {,}[80/81]$ , их надо нотировать как $\iota \Delta {,}\theta e^{1}[5];\iota \Delta {,}\theta e^{2}[10];\iota \Delta {,}\theta b^{2}[15]$ . Действительно:

${\begin{array}{rcccl}\iota \Delta {,}\theta b^{2}[15]&=&\iota \Delta {,}\theta b^{2}[(80/81)\cdot (243/16)\equiv (80/16)\cdot (243/81)]&=&b^{2}[5\cdot 3\equiv 15];\\\iota \Delta {,}\theta e^{2}[10]&=&\iota \Delta {,}\theta e^{2}[(80/81)\cdot (81/8)\equiv (80/8)\cdot (81/81)]&=&e^{2}[10\cdot 1\equiv 10];\\\iota \Delta {,}\theta e^{1}[5]&=&\iota \Delta {,}\theta e^{1}[(80/81)\cdot (81/16)\equiv (80/16)\cdot (81/81)]&=&e^{1}[5\cdot 1\equiv 5].\end{array}}$

Для чёткой нотации высот $bes^{1}[7],bes^{2}[14]$ нужна ещё одна кома, відома як септимальна кома Архита (україньска сторінка) ^[31] (подальше позначення $\mathrm {A} \rho {,}$ ― від ґрец. Αρχύτας ― для підвищення, та інвертоване ― $\rho \mathrm {A} {,}$ ― для пониження):

${\begin{array}{lclcl}{\mbox{A}}\rho {,}&=&1200\cdot \log _{2}(64/63)&\approx &+27{,}26{\cancel {\mbox{C}}};\\\rho {\mbox{A}}{,}&=&1200\cdot \log _{2}(63/64)&\approx &-27{,}26{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}$

Путём использования префиксов пониження на $\rho {\mbox{A}}{,}[63/64]$ пифагорейских висот $\theta bes^{1}[64/9],\theta bes^{2}[128/9]$ нотация чёткого интонирования для $bes^{1}[7],bes^{2}[14]$ получает вид $\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[7],\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[14]$ , истинность якого легко проверяется:

${\begin{array}{rcccl}\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[14]&=&\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[(63/64)\cdot (128/9)\equiv (63/9)\cdot (128/64)]&=&bes^{2}[7\cdot 2\equiv 14];\\\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[7]&=&\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[(63/64)\cdot (64/9)\equiv (63/9)\cdot (64/64)]&=&bes^{1}[7\cdot 1\equiv 7].\end{array}}$

Висоті $f^{2}[11]$ необхідна ундецімальна кома аль-Фарабі (україньска сторінка) ^[32] (позначення $\Phi \alpha {,}$ ― від ґрец. αλ-Φαράμπι ― для підвищення, та інвертоване ― $\alpha \Phi {,}$ ― для пониження):

${\begin{array}{lclcl}\Phi \alpha {,}&=&1200\cdot \log _{2}(33/32)&\approx &+53{,}27{\cancel {\mbox{C}}};\\\alpha \Phi {,}&=&1200\cdot \log _{2}(32/33)&\approx &-53{,}27{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}$

Префікс підвищення $\Phi \alpha {,}[33/32]$ призводить піфагорійську нотацію $\theta f^{2}[32/3]$ до виду $\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[11]$ , який відповідає чіткому інтонуванню $f^{2}[11]$ :

{\begin{array}{rcccl}\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[11]&=&\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[(33/32)\cdot (32/3)\equiv (33/3)\cdot (32/32)]&=&f^{2}[11\cdot 1\equiv 11].\end{array}}

Ще одній висоті $a^{2}[13]$ необхідна трідецімальна кома ^[33] (позначення $\rho \iota {,}$ ― від ґрец. δεκατρία ― для підвищення, та інвертоване ― $\iota \rho {,}$ ― для пониження):

{\begin{array}{lclcl}\rho \iota {,}&=&1200\cdot \log _{2}(27/26)&\approx &+65{,}34{\cancel {\mbox{C}}};\\\iota \rho {,}&=&1200\cdot \log _{2}(26/27)&\approx &-65{,}34{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}

Пониження $\theta a^{2}[27/2]$ на $\iota \rho {,}$ дає $\iota \rho {,}\theta a^{2}[13]$ , що означає чітке інтонування $a^{2}[13]$ :

{\begin{array}{rcccl}\iota \rho {,}\theta a^{2}[13]&=&\iota \rho {,}\theta a^{2}[(26/27)\cdot (27/2)\equiv (26/2)\cdot (27/27)]&=&a^{2}[13\cdot 1\equiv 13].\end{array}}

Треба врахувати, що подвійність існування кратності гармонічної ^[34] і субгармонічної,^[35] а також інтервалів і тонів,^[36]^[37] відбилася в подвійності нумерації (через косу, рідше звичайну, дробну рису) висот системи чіткої інтонації. Перед (над) рисою пишуть номер висоти в ряду обертонів, а після (знизу) риси ― номер унтертону, від якого цей ряд збудований.^[38]

Обертони нотного прикладу Кетлін Шлезінгер пронумеровані натуральними числами, але гармонічний ряд є підсистема чіткої інтонації. Тотожне перенумерування в подвійній манері, з одиницею після риси, явно виразить, що увесь ряд збудований від першого унтертону (збігається з першим обертоном) і кожен номер перед рисою вказує на його приналежність саме до ряду обертонів від загальної основи, тобто від першого унтертону в ряду таких від цієї загальної основи.

Таким чином, якщо для повної визначеності додати ще й позначенням відсутності будь-якої коми $\chi {,}$ (від ґрец. χωρίς), множина перших 16-ти обертонів має вигляд:

$\left\{{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\Phi \alpha {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \rho {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\^{~~C}_{[1/1]}&^{~~c}_{[2/1]}&^{~~g}_{[3/1]}&^{~~c^{1}}_{[4/1]}&^{~~e^{1}}_{[5/1]}&^{~~g^{1}}_{[6/1]}&^{~bes^{1}}_{[7/1]}&^{~~c^{2}}_{[8/1]}&^{~~d^{2}}_{[9/1]}&^{~~e^{2}}_{[10/1]}&^{~~f^{2}}_{[11/1]}&^{~~g^{2}}_{[12/1]}&^{~~a^{2}}_{[13/1]}&^{~bes^{2}}_{[14/1]}&^{~~b^{2}}_{[15/1]}&^{~~c^{3}}_{[16/1]}&^{\cdots }\\\hline \end{array}}\right\}$

Суміщення з нотним прикладом показує, що буквені імена йому сповна відповідають. Тому й нотація Кетлін Шлезінгер виділяється з інших відомих як найбільш вірна для застосування до неї енгармонічних фікт (в цьому прикладі вони над нотами), які наказують всі необхідні мікротонові вигини висот для досягнення їх чіткого інтонування.

${\mathsf {\Gamma }}$ АРМОНIЧНЫЙ ${\mathsf {P}}$ ЯД IN ${\mathsf {C}}$

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\\hline \end{array}}~~~~~~~~~~~~{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\Phi \alpha {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \rho {,}\theta }^{~~~\pitchfork }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline ^{~~C}_{\left[{\frac {1}{1}}\right]}&^{~~c}_{\left[{\frac {2}{1}}\right]}&^{~~g}_{\left[{\frac {3}{1}}\right]}\\\hline \end{array}}~~~~~~~~~{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline ^{~~c^{1}}_{\left[{\frac {4}{1}}\right]}&^{~~e^{1}}_{\left[{\frac {5}{1}}\right]}&^{~~g^{1}}_{\left[{\frac {6}{1}}\right]}&^{bes^{1}}_{\left[{\frac {7}{1}}\right]}&^{~~c^{2}}_{\left[{\frac {8}{1}}\right]}&^{~~d^{2}}_{\left[{\frac {9}{1}}\right]}&^{~~e^{2}}_{\left[{\frac {10}{1}}\right]}&^{~~f^{2}}_{\left[{\frac {11}{1}}\right]}&^{~~g^{2}}_{\left[{\frac {12}{1}}\right]}&^{~~a^{2}}_{\left[{\frac {13}{1}}\right]}&^{~bes^{2}}_{\left[{\frac {14}{1}}\right]}&^{~~b^{2}}_{\left[{\frac {15}{1}}\right]}&^{~~c^{3}}_{\left[{\frac {16}{1}}\right]}\\\hline \end{array}}$

Звертаючи увагу на факт присутності у кожній енгармонічній фікті символу $\theta$ , вказуючого піфагорійський рівень висоти, слід пам'ятати, що вигин звичайної темперованої висоти, наприклад, до висоти чіткого інтонування треба спочатку виконати до піфагорійського рівня, а потім або таким й залишити, якщо коматичного префікса немає чи є безкоматичний $\chi {,}$ префікс, або від піфагорійського рівня виконати ще вигин, вказаний коматичним префіксом.

Значок $\pitchfork$ над $\theta$ висоти $a^{2}$ ув'язує її піфагорійський рівень зі стандартною частотою настройки,^[39] що виражає рівність:

{\begin{array}{rcccl}_{\theta }^{\pitchfork }a^{2}[27/2]-(\theta P8[2/1])&=&_{\theta }^{\pitchfork }a^{(2-1\equiv 1)}[(27/2)\cdot (1/2)\equiv (27/4)]&=&{\pitchfork }a^{1}[27/4][440{\mbox{Hz}}].\end{array}}

Тыж посмоть едітовати

Шор Фур'є (україньска сторінка)

Референції едітовати

↑ IEV 1994, звук (анґл. sound): http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-01
↑ IEV 1994, основа (анґл. fundamental): http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-01
↑ IEV 1994, Гармоничный шор звуків (анґл. harmonic series of sounds): http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-04
↑ Юцевич 2003, Гармоничный шор (укр. Гармонічний ряд).
↑ Риман по Энгелю 1901, со́звук (рос. со́звук): «так звана верьхная натуралная гармоничная шкала (рос. так называемая верхняя натуральная гармоническая скала)»
↑ Юцевич 2003, Натуралный звукоряд (укр. Натуральний звукоряд): «совокупность так званых часточных тонів (обертонів) (укр. сукупність так званих часткових тонів (обертонів))».
↑ Хащеватська 2008, с. 215: «четвертый вентіл являє собов квартвентил, котрый понижчає основный обертоновый звукоряд інструмента (котрый іде уд Сі-бемол) на чисту кварту (укр. четвертий вентиль являє собою квартвентиль, який понижує основний обертоновий звукоряд інструмента (який іде від Сі-бемоль) на чисту кварту)»
↑ Риман по Энгелю 1901, созвук (рос. со́звук): «(рос. называются частичными, парциальными, аликвотными. Так как все эти тоны лежат выше главного, фундаментального, основного (от которого с[озвук]. получает название), то они носят также название верхних тонов (обертонов))»
↑ Partch 1974, с. 72: «(анґл. Overtone: same as Partial, which see. Partial: one of the series of tones present in almost any musical sound; the quality or timbre of a tone depends upon the comparative energy of the various constituents of the series. An overtone, or partial, is an ingredient implicit in the phenomenon of sound)».
↑ Riemann by Shedlock 1876, с. 143: «нехай це буде зрозуміло, другый обертон не третій тон послідовності, але другый (анґл. let it be understood, the second overtone is not the third tone of the series, but the second)»
↑ Риман по Энгелю 1901, співзвук (рос. со́звук): «(рос. появилась необходимость в новом термине, под которым подразумевалось бы понятие более широкое, чем "тон" и более специальное, чем "звук". Таким термином является с., понимаемый как совокупность составляющих музыкальный звук тонов, в противоположность простому "тону", как составной части с-а. С. получает свое название от самого нижнего (обыкновенно самого сильного и слышного) из составляющих его тонов)»
↑ Riemann by Shedlock 1876, с. 143:
«З тих пір як відомо, що звуки наших музичн. інструментів суть не прості тони, а складаються з ряду простих тонів, які можуть бути розрізнятися через найбільш уважного слухача (але зазвичай у такий спосіб не розрізняється), назву З[вук]., в наукових роботах, було замінено більш широким, всеосяжним, С[півзвук], в той час як звук застосовуємо до простих звуків в складі С. Висота C визначається рівнем найнижчого, та, як правило, найсильнішого з його складових тонів (анґл. Since it has been known that the sounds of our musical instruments are not simple tones, but compounded of a series of simple tones which can be distinguished by a most attentive listener (but commonly are not thus distinguished), the term S., in scientific works, has been replaced by the more general, comprehensive one, C, whilst sound is applied to the simple sounds as part of the C. The height of the C[lang] is determined by the pitch of the lowest, and, as a rule, the strongest of its compound tones)»
↑ Partch 1974, с. 70:
«Гармонічний Вміст: практично синонімічно якості тону; вираз використовувався для позначення тієї характеристики музичного тону, яка визначається розподілом і порівняльною енергією його часткових [тонів] або гармонік; співзвук. (анґл.
Harmonic Content: practically synonymous with quality of tone; the term used to indicate that characteristic of a musical tone which is determined by the distribution and comparative energy of its partials, or harmonics; the klang.)»
↑ IEV 1994, 801-29-01:
«висота
те означення слухового відчуття, в умовах якого звуки можуть бути упорядковані за шкалою, що тягнеться від низького до високого
Примітка 1 — Висота складної хвилі залежить в першу чергу від змісту частоти стимулу, але вона також залежить від звукового тиску і форми сигналу.
Примітка 2 — Висота звуку може бути описана по частоті того чистого тону, маючого заданий рівень звукового тиску, який є оціненим через суб'єктів, щоб давати таку ж висоту (анґл.
pitch
that attribute of auditory sensation in terms of which sounds may be ordered on a scale extending from low to high
Note 1 — The pitch of a complex wave depends primarily upon the frequency content of the stimulus, but it also depends upon the sound pressure and the waveform.
Note 2 — The pitch of a sound may be described by the frequency of that pure tone having a specified sound pressure level that is judged by subjects to produce the same pitch)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-29-01
↑ IEV 1994, 801-30-02:
«партiал синусоїдальний компонент складної звукової хвилі
(анґл. partial sinusoidal component of a complex sound wave)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-02
↑ IEV 1994, 801-21-05:
«чистий звук
чистий тон
синусоїдальне акустичне коливання (анґл.
pure sound
pure tone
sinusoidal acoustic oscillation)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-05
↑ IEV 1994, 801-21-06:
«складний звук
звук, який не є простим коливанням (анґл.
complex sound
sound that is not a simple oscillation)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-06
↑ Тюлин 1966, с. 41-3:
«кожен з обертонів <…> має свою власну натуральну ска́лу серед обертонів [спiвзвуку з висотою] основного тону (рос.
каждый из обертонов <…> имеет свою собственную натуральную ска́лу в числе обертонов [со́звука с высотой] основного тона)»
↑ Helmholtz 1865, p. 76:
«Можна легко переконатися за допомогою випробувань у зазначених властивостях резонаторів. Ви притуляєте такі до вуха, і нехай грає деякий поліфонічний фрагмент музики будь-яких інструментів, де часто відбувається природний тон резонатора. Так часто як цей тон дається, озброєне резонатором вухо чує його проникнення через усі інші звуки акорду.

Більш слабкі, але часто чутні такі, що позначені нижчимі співзвуками, а саме, що показує перше детальне дослідження цього випадку, коли співзвуки даються з одним з гармонічних обертонів на власному тоні резонатора. Називаються ці нижчі співзвуки гармонічні унтертони тона резонатора. Це є співзвуки, у яких період коливання у 2, 3, 4, 5 і т.д. раз більше, ніж у тона резонатора. Якщо таким є, наприклад, c", то можна почути його звучання, коли музичний інструмент грає: с', F, C, As, F, D, C, і т.д. У цих випадках резонатор звучить від одного з обертонів зазначеного співзвуку у зовнішньому повітряному просторі. Але слід зазначити, що співзвуки окремих інструментів не завжди містять усі гармонічні обертони, і що вони мають різну силу. У звуках скрипки, фортепіано, та фісгармонії перші 5 або 6 найбільш явно присутні. Про обертони струн слідує більш докладний опис у наступному розділі (нїм.
Man kann sich durch Versuche von den angegebenen Eigenschaften der Resonatoren leicht überzeugen. Man setze einensolchen an das Ohr und lasse irgend ein mehrstimmiges Musikstück von beliebigen Instrumenten ausführen, in dem öfters der Eigen ton des Resonators vorkommt. So oft dieser Ton angegeben wird, wird das mit dem Resonator bewaffnete Ohr ihn gellend durch alle anderen. Töne des Accords hindurchdringen hören.

Schwächer wird es ihn aber oft auch hören, wenn tiefere Klänge angegeben werden, und zwar zeigt die nähere Untersuchung zunächst, dass dies geschieht, wenn Klänge angegeben werden, zu deren harmonischen Obertönen der Eigenton des Resonators gehört. Man nennt dergleichen tiefere Klänge auch wohl die harmonischen Untertöne des Resonator tones. Es sind die Klänge, deren Schwingungsperiode gerade 2, 3, 4, 5 u. s. w. Mal grösser ist, als die des Resonator tones. Ist dieser also z. B. c", so hört man ihn tönen, wenn ein musikalisches Instrument angiebt: c', f, c, As, F, D, C u. s. w. In diesen Fällen tönt der Resonator durch einen der harmonischen Obertöne des im äusseren Luftraume angegebenen Klanges. Doch ist zu bemerken, dass nichtimmer alle harmonischen Obertöne in den Klängen der einzelnen Instrumente vorkommen, und dass sie bei verschiedenen auch sehr verschiedene Stärke haben. Bei den Tönen der Geigen, des Ciaviers, der Physharmonica sind die ersten 5 oder 6 meist deutlich vorhanden. Ueber die Obertöne der Saiten folgt Genaueres im nächsten Capitel)»
↑ Khramov 2009, p. 78:
«Унтеральна ска́ла (УС)
Ім'я «унтеральна» тут дано відомої ска́лі унтертонов [14]. Пропоноване ім'я, об'єднуючи слова «унтертон» і «натуральна» підкреслює, що елементи УС (ЕУС) збігаються з ГК НС-ами [гармонічними комплексами], які мають висоти основ кожного ЕУС. Основна частота ЕУС1 найбільша, ЕУС2 у 2 рази менше ніж найбільша, ЕУС3 в 3 рази менше ніж найбільша, і так далі. У ГК кожного ЕУС, отже, міститься повний склад ГК ЕУС1. Таким чином УС об'єднує всі такі НС, що ЕУС1 у повному складі можна ретрагувать у кожен з них. Отже можлива пряма ретракция ЕУС1 у будь-який ЕУС. Зворотною дією буде пряма екстракція ЕУС1 з будь-якого ЕУС. Можливо говорити, що ідеальний УС розгортає повну ієрархію висот ЧИ по їх близькості до ЕУС1 (анґл.
Underal Scale (US)
The name "underal" here is given to a known scale of undertones [14]. By the offered name is underlined with integrating words "undertone" and "natural", that the elements of an US (EUS) coincide with HCs [harmonic complexes] of NSs, which have pitches of the basis of each EUS. The base frequency of EUS1 is higest, EUS2 in 2 times is lower than largest, EUS3 in 3 times is lower than largest, and so on. In HC of each EUS, therefore is contained full structure of HC of EUS1. Thus US integrates all such HC, that in each from them is possible to retract full structure of EUS1. Therefore is possible a direct retraction of EUS1 in anyone EUS. A back action will be direct extraction of EUS1 from anyone EUS. It is possible to speak, that an ideal US evolves a full hierarchy of JI pitches by their affinity to EUS1)»
↑ Datta, Sengupta, Dey and Nag 2006, с. 21:
«Передбачається, що сприйняття складних тонів починається на пізнішій стадії розвитку плода. Рідина, у яку занурений плід передає пульсацію серця матері, постійно активізуючи слухові процеси. Поняття партiалів розробляється на цій стадії. Це експериментальний факт: коли музичні ноти, які знаходяться у простих цілих співвідношеннях, звучать разом, вони звучать приємно. Таке не завжди справедливо для чистих тонів. Одна теорія полягає у тому, що, коли деякі верхні партiали двох тонів збігаються, тодi виходить консонанс. Фактично, Гельмгольц пояснив міру консонансів у виразах збігу й близькості обертонів та різницевих тонів. Ці тони виникають, коли складні тони що звучать одночасно збуджують дійсні нелінійні фізичні резонатори, наприклад, людський слух. Тією ж мірою, в якій найбільш потужні вторинні тони інтервалу точно збігаються, є консонантне або ніжне звучання. Тією ж мірою, якщо деякі з його вторинних тонів розділені по частоті досить невеликою різницею щоб «бити» біля оцінки, яку він ставить на позначці 33 к/с, воно дисонантне або грубе. Такі ж результати спостерігаються навіть тоді, коли ці два звуки не одночасні, але в послідовності. Складна хвиля буде приводити до ряду активних груп нервових волокон, розділених групами неактивних волокон. Активні волокна пасують партіалам. Відбитки гармонійних будов у слуховий корі А1 засвідчили нещодавні дослідження. Інша теорія переваг пари тонів залежить від подібності тимчасових зразків розряду нейрону для тонів, що мають прості співвідношення частот. (анґл.
It is suggested that the perception of complex tones begins at a later stage of development of the foetus. The fluid in which a foetus is immersed transmits the throbbing of the mother's heart, activating continuously the auditory processes. The concept of partials is developed at that stage. It is an experimental fact that when musical notes, which are in simple, integral ratios, are sounded together they sound pleasant. This does not always hold true for pure tones [15]. One theory is that when some upper partials of the two tones match consonance results. In fact, Helmholtz [16] in 1862 explained the dimension of consonance in terms of the coincidence and proximity of the overtones and difference tones. These tones arise when simultaneously sounded complex tones excite real non-linear physical resonators, e.g. the human ear. To the extent that an interval's most powerful secondary tones exactly coincide, it is consonant or sweet sounding. To the extent that any of its secondary tones are separated in frequency by a small enough difference to "beat" at a rate, which he puts at around 33 c/s, it is dissonant, or harsh. Same effects are observed even when these two sounds are not simultaneous but in succession. A complex wave would give rise to a series of active groups of nerve fibres separated by groups of inactive fibres. The active fibres correspond to partials [12], Recent studies revealed prints of harmonic structures in the auditory cortex A1 [17]. The other theory of preference of pair of tones relies on the similarity of the temporal patterns of neural discharge for tones having simple frequency ratios [18].)»
↑ Schouten 1940, cс. 356-61:
«Це факт, що висота рівна до такої від основного тону приписується навіть тим звукам, у яких основний тон не присутній <...> одна або кілька складових можуть бути сприйняті, які не відповідають якомусь окремому синусоїдальному коливанню, але які є колективним проявом деяких з цих коливань, яких нема або майже не відчути окремо. Ці компоненти (резидууми) мають нечисту, різку тон-якість <...> гармоніки найвищі по частоті сприймаються як особиста складова майже найнижча по висоті (анґл.
It is a fact that a pitch equal to that of the fundamental tone is ascribed even to those sounds in which the fundamental tone is not present <...> one or more components may be perceived which do not correspond with any individual sinusoidal oscillation, but which are a collective manifestation of some of those oscillations which are not or scarcely individually perceptible. These components (residues) have an impure, sharp tone-quality <...> the harmonics highest in frequency are perceived as a subjective component almost lowest in pitch)»
↑ Mersenne 1636, с. 196
↑ Barbieri 2008, с. 7:
«за словами Гафуріо та інших теоретиків, вираз “semitone [фр. demi-tone]” спочатку означал “неповний тон” (а не “півтону”), випливаючи з semus, що означає “неповний” або “зменшений” (анґл.
according to Gaffurio and other theorists, the term ‘semitone’ originally meant ‘incomplete tone’ (and not ‘half a tone’), deriving from semus, which means ‘imperfect’ or ‘diminished’)»
↑ EB 1911, Valves
↑ Когут 2005, с. 102:
«“Ідеальним” рішенням, на наш погляд, було б присвоєння елементам, наприклад звукоряду обертонів (або його необхідного сектора за винятком октавних подвоєнь) відповідних назв і нотних знаків, а відхилення від цих елементів отриманої будови позначати додатковими знаками альтерації <...> На жаль історично склалося так, що властивості розвиненої будови обертонів стали нам відомі набагато пізніше, а до усвідомлення цих властивостей ми кілька тисяч років користувалися іншою будовою - піфагоровим строєм. {lang-ru|
“Идеальным” решением, на наш взгляд, было бы присвоение элементам, например обертонового звукоряда (или его необходимого сектора за исключением октавных удвоений) соответствующих названий и нотных знаков, а отклонения от этих элементов полученной структуры обозначать дополнительными знаками альтерации <...> К сожалению исторически сложилось так, что свойства развитой обертоновой структуры стали нам известны намного позже, а до осознания этих свойств мы несколько тысяч лет пользовались иной структурой — пифагоровым строем.}})»
↑ Barbieri 2008, с. 5:
«Відповідно до західної музичної традиції, побудова першої ска́ли приписується Піфагорові Самоському (6-е століття до н.е.), хто розділив октаву на певне число ступенів шляхом використання ланцюжка чистих висхідних квінт (тобто співвідношення 3:2, найпростіше після 2:1), зведених низхідними октавами (щоб знести всі отримані інтервали в близьке положення). Подібна операція задокументована у китайських теоретиків, від 3 століття до н.е.(анґл.
According to the Western musical tradition, the construction of the first scale is attributed to Pythagoras of Samos (6th century BCE), who divided the octave into certain number of degrees by making use of a chain of pure ascending 5th (i.e. the ratio 3:2, the simplest after 2:1) interposed with descending octaves (to bring all the resulting intervals in a close position). A similar procedure is documented in the Chinese theorists, from the 3rd century BCE.)»
↑ Волконский 1998, сс. 3-4:
«Джерело основних як європейських, так й не європейських звукорядів — спіраль Піфагора, що складається з ланцюжка чистих квінт, які йдуть в нескінченність.

При оцінюванні різних європейських звукорядів, що з'явилися в різні епохи, а також виникаючих з них інтервалів слід завжди пам'ятати про взаємовідносини між спіраллю Піфагора й натуральною гамою.(рос.
Источник основных как европейских, так и не европейских звукорядов – спираль Пифагора, состоящая из цепочки чистых квинт, уходящих в бесконечность.

При оценке различных европейских звукорядов, появившихся в разные эпохи, а также возникающих из них интервалов следует всегда помнить о взаимоотношении между спиралью Пифагора и натуральной гаммой.)»
↑ Coul, List of intervals, 3/2:
«чиста квінта
(анґл.
perfect fifth)»
↑ Coul, List of intervals, 81/80: «синтонічна кома, кома Дідима (анґл. syntonic comma, Didymus comma)»
↑ Coul, List of intervals, 64/63: «септимальна кома, кома Архита (анґл. septimal comma, Archytas' comma)»
↑ Coul, List of intervals, 33/32: «ундецімальна кома, 1/4-тон [чвертинатон] аль-Фарабі (анґл. undecimal comma, al-Farabi's 1/4-tone)»
↑ Coul, List of intervals, 27/26: «трідецімальна кома (анґл. tridecimal comma)»
↑ IEV 1994, гармонічний ряд звуків (анґл. harmonic series of sounds): «основна частота кожного з них є ціле кратне найнижчої основної частоти (анґл. fundamental frequency of each of them is an integral multiple of the lowest fundamental frequency)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-04
↑ IEV 1994, субгармонічний відгук (анґл. subharmonic response): «є субкратним частоти збудження (анґл. is a submultiple of the excitation frequency)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-24-25
↑ Partch 1974, с. 76: «Система музики є організація зв'язків висот, або тонів, одне з одним, та ці зв'язки неминуче зв'язки чисел. Тон є число, а так як тон в музиці завжди чути в зв`язку з одним або декількома тонами ― дійсно чутних або маємих на увазі ― нам є принаймні до двох чисел справа: числа тону розглядуваного та числа тону чутного або маємого на увазі в зв`язку з першим тоном. Таким чином, співвідношення. (анґл. A system of music is an organization of relationships of pitches, or tones, to one another, and these relationships are inevitably the relationship of numbers. Tone is number, and since a tone in music is always heard in relation to one or several tones — actually heard or implied — we have at least two numbers to deal with: the number of the tone under consideration and the number of the tone heard or implied in relation to the first tone. Hence, the ratio.)»
↑ Partch 1974, с. 71: «Інтервал: висотний зв'язок між двома музичними звуками, співвідношення. Інтервал, співвідношення, тон, суть майже синоніми в цьому викладенні; співвідношення є в один і той же час представник тону та інтервалу, і тон завжди має на увазі співвідношення, або інтервал. (анґл. Interval: a pitch relation between two musical sounds, a ratio. Interval, ratio, tone, are virtually synonymous in this exposition; a ratio is at one and the same time the representative of a tone and of an interval, and a tone always implies a ratio, or interval.)»
↑ Partch 1974, с. 67: «У початковому рукопису два числа кожного співвідношення були показані одне над іншим, і ця форма істотна для викладення в певних випадках, "над" число і "під" число часто мають співзначення дуже особливої природи, як буде видно. Крайнощами друкованого набору, однак, було важко зберегти цю форму, де співвідношення зустрічаються в тексті. Обидва числа співвідношення відображаються в тому ж рядку; тому число попереднє діагоналі буде вважатися "над" і число, наступне діагоналі буде вважатися "під". На схемах ці два числа завжди відображаються одне над одним, так що "над" і "під" співзначення, якщо застосовні, є очевидними. (анґл. In the original manuscript the two numbers of each ratio were shown one above the other, and this form is significant to the exposition in certain cases, the "over" number and the "under" number frequendy having connotations of a very specific nature, as will be seen. The exigencies of typesetting, however, made it difficult to preserve this form where ratios occur in the text. Both numbers of a ratio appear in the same line; therefore, the number preceding the diagonal will be considered "over" and the number following the diagonal will be considered "under." In the diagrams the two numbers are always shown one above the other, so that the "over" and "under" connotations, if applicable, are obvious.)»
↑ IEV 1994, стандартна частота настройки (анґл. standard tuning frequency): «для ноти ЛЯ в дисканта [скрипкового ключа] октаві, 440 Гц (анґл. for the note LA in the treble octave, of 440 Hz)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-18

Жрідла едітовати

Хащеватська, С. С. (2008). Інструментознавство: Підручник для ВНЗ ІІІ-ІV р.а.. Вінниця: Нова Книга. ISBN 978-966-382-176-4. https://books.google.com.ua/books?id=qB0RCgAAQBAJ&pg=PA2&dq=978-966-382-176-4&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwi9huD2we7KAhXGkCwKHSuhDIcQ6AEIGzAA#v=onepage&q=978-966-382-176-4&f=false.
Юцевич, Ю. Є.. Словник-довідник музичних термінів (по україньскый). http://term.in.ua/Information.html. [перевірено 2016-06-11].
Barbieri, Patrizio (2008) (по англ.). Enharmonic Instruments and Music 1470-1900. Revised and translated studies. CD included.. Latina: Il Levante Libreria Editrice. pp. i-xii, 1-618. ISBN 978-88-95203-14-0. http://www.patriziobarbieri.it/1.htm. [перевірено 2016-09-26].
Coul, Manuel Op de. List of intervals (Compiled) (по англійська). Huygens-Fokker Foundation centre for microtonal music. http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html. [перевірено 2016-09-26].
Datta A. K., Sengupta R., Dey N., Nag D. (2006). Experimental Analysis of Shrutis from Performances in Hindustani Music. Kolkata, India: SRD ITC SRA. pp. I-X, 1-103. ISBN 81-903818-0-6. http://www.itcsra.org/sra_story/sra_story_research/sra_story_resrch_links/sra_story_resrch_pubs/sra_story_resrch_pubs_index.html.
EB, Wikisource (1911). Encyclopædia Britannica (по англійська). https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica. [перевірено 2016-06-07].
Helmholtz, H. (1865) (по нім.). Die Lehre von dem Tonempfindungen. Zweite ausgabe. Braunschweig: Vieweg und sohn. pp. I-XII, 1-606. https://archive.org/details/b21717114. [перевірено 2016-09-29].
IEV, Online (1994). Електропедія: міжнародний електротехнічний словник онлайн (по англійська). International Electrotechnical Commission. http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/d253fda6386f3a52c1257af700281ce6?OpenForm. [перевірено 2016-02-10].
Khramov, M. (2009) (по англ.). «Approximation to 7-Limit Just Intonation in a Scale of 31EDO.» Proceedings of the International Symposium FRSM-2009. Gwalior, India: ABV-Indian Institute of Information Technology and Management. pp. 73-82. https://get.google.com/albumarchive/103356928589292705236/album/AF1QipNgKMu4rLQsWtVBYKn3sYpIb20-5qCbvkscE_yY. [перевірено 2016-09-29].
Mersenne, Marin (1636) (по фр.). Harmonie universelle. First edition.. Paris: Sebastien Cramoisy. http://imslp.org/wiki/Harmonie_universelle_(Mersenne,_Marin). [перевірено 2016-09-26].
Partch, Harry (1974) (по англійська). Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, Its Roots, and Its Fulfillments (2nd enlarged edition ed.). New York: Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X. http://monoskop.org/File:Partch_Harry_Genesis_of_a_Music_2nd_ed.pdf.
Riemann by Shedlock (1896) (по англійська). Dictionary of Music. Augener & Co., London. http://imslp.org/wiki/Musiklexikon_(Riemann,_Hugo).
Schouten, J. F. (Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken) (Feb 24, 1940) (по англійська). The residue, a new component in subjective sound analysis. Holland. Eindhoven: (Communicated by Prof. G. Holst at the meeting). pp. 356-65. http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00017418.pdf. [перевірено 2016-09-26].
Волконский, Андрей Михайлович (1998) (по російська). Основы темперации. Композитор, Москва. ISBN 5-85285-184-1. http://maxima-library.org/avtory/avtorskie-serii/b/291722. [перевірено 2016-06-15].
Когут, Г. А. (2005) (по рос.). Микротоновая музыка. Киев: Наукова думка. pp. 1-264. ISBN 966-00-0604-7. http://hpi.zentral.zone/blog?p=11. [перевірено 2016-09-26].
Красинская, Л., Уткин, В. (1991) (по російська). Элементарная теория музыки. Москва: Музыка. ISBN 5-7140-0201-6. https://app.box.com/shared/6aik5hp0u2. [перевірено 2016-06-14].
Риман по Энгелю (1901). Музичний словник (по російська). Юргенсон. http://enc.biblioclub.ru/Encyclopedia/22_Riman_G__Muzykalnyy_slovar. [перевірено 2016-06-15].
Тюлин, Юрий Николаевич (1966). Беспалова, Н.. ed (по рос.). Учение о гармонии (Издание Третье, Исправленное и Дополненное ed.). Москва: Музыка.

Одказы, причандалля едітовати

EA78751 (2011). Гармонічный шор (Відео) (по анґліцькый). YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=8KgtQHbQnDk. [перевірено 2016-06-20]. "An electronic filter dissects a sawtooth waveform (82 Hz, pitch E) into the first twenty-four partials of the harmonic series. The waveform is displayed on an oscilloscope with annotations to indicate the harmonic relationships. One can see that by counting the number of crests in the waveform per fundamental cycle,"

Тота статя є затля „Стыржень“. Поможте Вікіпедії так, же єй доповните і росшырите.

[1] IEV 1994, звук (анґл. sound): http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-01

[2] IEV 1994, основа (анґл. fundamental): http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-01

[3] IEV 1994, Гармоничный шор звуків (анґл. harmonic series of sounds): http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-04

[4] Юцевич 2003, Гармоничный шор (укр. Гармонічний ряд).

[5] Риман по Энгелю 1901, со́звук (рос. со́звук): «так звана верьхная натуралная гармоничная шкала (рос. так называемая верхняя натуральная гармоническая скала)»

[6] Юцевич 2003, Натуралный звукоряд (укр. Натуральний звукоряд): «совокупность так званых часточных тонів (обертонів) (укр. сукупність так званих часткових тонів (обертонів))».

[7] Хащеватська 2008, с. 215: «четвертый вентіл являє собов квартвентил, котрый понижчає основный обертоновый звукоряд інструмента (котрый іде уд Сі-бемол) на чисту кварту (укр. четвертий вентиль являє собою квартвентиль, який понижує основний обертоновий звукоряд інструмента (який іде від Сі-бемоль) на чисту кварту)»

[8] Риман по Энгелю 1901, созвук (рос. со́звук): «(рос. называются частичными, парциальными, аликвотными. Так как все эти тоны лежат выше главного, фундаментального, основного (от которого с[озвук]. получает название), то они носят также название верхних тонов (обертонов))»

[9] Partch 1974, с. 72: «(анґл. Overtone: same as Partial, which see. Partial: one of the series of tones present in almost any musical sound; the quality or timbre of a tone depends upon the comparative energy of the various constituents of the series. An overtone, or partial, is an ingredient implicit in the phenomenon of sound)».

[10] Riemann by Shedlock 1876, с. 143: «нехай це буде зрозуміло, другый обертон не третій тон послідовності, але другый (анґл. let it be understood, the second overtone is not the third tone of the series, but the second)»

[11] Риман по Энгелю 1901, співзвук (рос. со́звук): «(рос. появилась необходимость в новом термине, под которым подразумевалось бы понятие более широкое, чем "тон" и более специальное, чем "звук". Таким термином является с., понимаемый как совокупность составляющих музыкальный звук тонов, в противоположность простому "тону", как составной части с-а. С. получает свое название от самого нижнего (обыкновенно самого сильного и слышного) из составляющих его тонов)»

[12] Riemann by Shedlock 1876, с. 143:
«З тих пір як відомо, що звуки наших музичн. інструментів суть не прості тони, а складаються з ряду простих тонів, які можуть бути розрізнятися через найбільш уважного слухача (але зазвичай у такий спосіб не розрізняється), назву З[вук]., в наукових роботах, було замінено більш широким, всеосяжним, С[півзвук], в той час як звук застосовуємо до простих звуків в складі С. Висота C визначається рівнем найнижчого, та, як правило, найсильнішого з його складових тонів (анґл. Since it has been known that the sounds of our musical instruments are not simple tones, but compounded of a series of simple tones which can be distinguished by a most attentive listener (but commonly are not thus distinguished), the term S., in scientific works, has been replaced by the more general, comprehensive one, C, whilst sound is applied to the simple sounds as part of the C. The height of the C[lang] is determined by the pitch of the lowest, and, as a rule, the strongest of its compound tones)»

[13] Partch 1974, с. 70:
«Гармонічний Вміст: практично синонімічно якості тону; вираз використовувався для позначення тієї характеристики музичного тону, яка визначається розподілом і порівняльною енергією його часткових [тонів] або гармонік; співзвук. (анґл.
Harmonic Content: practically synonymous with quality of tone; the term used to indicate that characteristic of a musical tone which is determined by the distribution and comparative energy of its partials, or harmonics; the klang.)»

[14] IEV 1994, 801-29-01:
«висота
те означення слухового відчуття, в умовах якого звуки можуть бути упорядковані за шкалою, що тягнеться від низького до високого
Примітка 1 — Висота складної хвилі залежить в першу чергу від змісту частоти стимулу, але вона також залежить від звукового тиску і форми сигналу.
Примітка 2 — Висота звуку може бути описана по частоті того чистого тону, маючого заданий рівень звукового тиску, який є оціненим через суб'єктів, щоб давати таку ж висоту (анґл.
pitch
that attribute of auditory sensation in terms of which sounds may be ordered on a scale extending from low to high
Note 1 — The pitch of a complex wave depends primarily upon the frequency content of the stimulus, but it also depends upon the sound pressure and the waveform.
Note 2 — The pitch of a sound may be described by the frequency of that pure tone having a specified sound pressure level that is judged by subjects to produce the same pitch)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-29-01

[15] IEV 1994, 801-30-02:
«партiал синусоїдальний компонент складної звукової хвилі
(анґл. partial sinusoidal component of a complex sound wave)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-02

[16] IEV 1994, 801-21-05:
«чистий звук
чистий тон
синусоїдальне акустичне коливання (анґл.
pure sound
pure tone
sinusoidal acoustic oscillation)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-05

[17] IEV 1994, 801-21-06:
«складний звук
звук, який не є простим коливанням (анґл.
complex sound
sound that is not a simple oscillation)»
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-06

[18] Тюлин 1966, с. 41-3:
«кожен з обертонів <…> має свою власну натуральну ска́лу серед обертонів [спiвзвуку з висотою] основного тону (рос.
каждый из обертонов <…> имеет свою собственную натуральную ска́лу в числе обертонов [со́звука с высотой] основного тона)»

[19] Helmholtz 1865, p. 76:
«Можна легко переконатися за допомогою випробувань у зазначених властивостях резонаторів. Ви притуляєте такі до вуха, і нехай грає деякий поліфонічний фрагмент музики будь-яких інструментів, де часто відбувається природний тон резонатора. Так часто як цей тон дається, озброєне резонатором вухо чує його проникнення через усі інші звуки акорду.

Більш слабкі, але часто чутні такі, що позначені нижчимі співзвуками, а саме, що показує перше детальне дослідження цього випадку, коли співзвуки даються з одним з гармонічних обертонів на власному тоні резонатора. Називаються ці нижчі співзвуки гармонічні унтертони тона резонатора. Це є співзвуки, у яких період коливання у 2, 3, 4, 5 і т.д. раз більше, ніж у тона резонатора. Якщо таким є, наприклад, c", то можна почути його звучання, коли музичний інструмент грає: с', F, C, As, F, D, C, і т.д. У цих випадках резонатор звучить від одного з обертонів зазначеного співзвуку у зовнішньому повітряному просторі. Але слід зазначити, що співзвуки окремих інструментів не завжди містять усі гармонічні обертони, і що вони мають різну силу. У звуках скрипки, фортепіано, та фісгармонії перші 5 або 6 найбільш явно присутні. Про обертони струн слідує більш докладний опис у наступному розділі (нїм.
Man kann sich durch Versuche von den angegebenen Eigenschaften der Resonatoren leicht überzeugen. Man setze einensolchen an das Ohr und lasse irgend ein mehrstimmiges Musikstück von beliebigen Instrumenten ausführen, in dem öfters der Eigen ton des Resonators vorkommt. So oft dieser Ton angegeben wird, wird das mit dem Resonator bewaffnete Ohr ihn gellend durch alle anderen. Töne des Accords hindurchdringen hören.

Schwächer wird es ihn aber oft auch hören, wenn tiefere Klänge angegeben werden, und zwar zeigt die nähere Untersuchung zunächst, dass dies geschieht, wenn Klänge angegeben werden, zu deren harmonischen Obertönen der Eigenton des Resonators gehört. Man nennt dergleichen tiefere Klänge auch wohl die harmonischen Untertöne des Resonator tones. Es sind die Klänge, deren Schwingungsperiode gerade 2, 3, 4, 5 u. s. w. Mal grösser ist, als die des Resonator tones. Ist dieser also z. B. c", so hört man ihn tönen, wenn ein musikalisches Instrument angiebt: c', f, c, As, F, D, C u. s. w. In diesen Fällen tönt der Resonator durch einen der harmonischen Obertöne des im äusseren Luftraume angegebenen Klanges. Doch ist zu bemerken, dass nichtimmer alle harmonischen Obertöne in den Klängen der einzelnen Instrumente vorkommen, und dass sie bei verschiedenen auch sehr verschiedene Stärke haben. Bei den Tönen der Geigen, des Ciaviers, der Physharmonica sind die ersten 5 oder 6 meist deutlich vorhanden. Ueber die Obertöne der Saiten folgt Genaueres im nächsten Capitel)»

[20] Khramov 2009, p. 78:
«Унтеральна ска́ла (УС)
Ім'я «унтеральна» тут дано відомої ска́лі унтертонов [14]. Пропоноване ім'я, об'єднуючи слова «унтертон» і «натуральна» підкреслює, що елементи УС (ЕУС) збігаються з ГК НС-ами [гармонічними комплексами], які мають висоти основ кожного ЕУС. Основна частота ЕУС1 найбільша, ЕУС2 у 2 рази менше ніж найбільша, ЕУС3 в 3 рази менше ніж найбільша, і так далі. У ГК кожного ЕУС, отже, міститься повний склад ГК ЕУС1. Таким чином УС об'єднує всі такі НС, що ЕУС1 у повному складі можна ретрагувать у кожен з них. Отже можлива пряма ретракция ЕУС1 у будь-який ЕУС. Зворотною дією буде пряма екстракція ЕУС1 з будь-якого ЕУС. Можливо говорити, що ідеальний УС розгортає повну ієрархію висот ЧИ по їх близькості до ЕУС1 (анґл.
Underal Scale (US)
The name "underal" here is given to a known scale of undertones [14]. By the offered name is underlined with integrating words "undertone" and "natural", that the elements of an US (EUS) coincide with HCs [harmonic complexes] of NSs, which have pitches of the basis of each EUS. The base frequency of EUS1 is higest, EUS2 in 2 times is lower than largest, EUS3 in 3 times is lower than largest, and so on. In HC of each EUS, therefore is contained full structure of HC of EUS1. Thus US integrates all such HC, that in each from them is possible to retract full structure of EUS1. Therefore is possible a direct retraction of EUS1 in anyone EUS. A back action will be direct extraction of EUS1 from anyone EUS. It is possible to speak, that an ideal US evolves a full hierarchy of JI pitches by their affinity to EUS1)»

[21] Datta, Sengupta, Dey and Nag 2006, с. 21:
«Передбачається, що сприйняття складних тонів починається на пізнішій стадії розвитку плода. Рідина, у яку занурений плід передає пульсацію серця матері, постійно активізуючи слухові процеси. Поняття партiалів розробляється на цій стадії. Це експериментальний факт: коли музичні ноти, які знаходяться у простих цілих співвідношеннях, звучать разом, вони звучать приємно. Таке не завжди справедливо для чистих тонів. Одна теорія полягає у тому, що, коли деякі верхні партiали двох тонів збігаються, тодi виходить консонанс. Фактично, Гельмгольц пояснив міру консонансів у виразах збігу й близькості обертонів та різницевих тонів. Ці тони виникають, коли складні тони що звучать одночасно збуджують дійсні нелінійні фізичні резонатори, наприклад, людський слух. Тією ж мірою, в якій найбільш потужні вторинні тони інтервалу точно збігаються, є консонантне або ніжне звучання. Тією ж мірою, якщо деякі з його вторинних тонів розділені по частоті досить невеликою різницею щоб «бити» біля оцінки, яку він ставить на позначці 33 к/с, воно дисонантне або грубе. Такі ж результати спостерігаються навіть тоді, коли ці два звуки не одночасні, але в послідовності. Складна хвиля буде приводити до ряду активних груп нервових волокон, розділених групами неактивних волокон. Активні волокна пасують партіалам. Відбитки гармонійних будов у слуховий корі А1 засвідчили нещодавні дослідження. Інша теорія переваг пари тонів залежить від подібності тимчасових зразків розряду нейрону для тонів, що мають прості співвідношення частот. (анґл.
It is suggested that the perception of complex tones begins at a later stage of development of the foetus. The fluid in which a foetus is immersed transmits the throbbing of the mother's heart, activating continuously the auditory processes. The concept of partials is developed at that stage. It is an experimental fact that when musical notes, which are in simple, integral ratios, are sounded together they sound pleasant. This does not always hold true for pure tones [15]. One theory is that when some upper partials of the two tones match consonance results. In fact, Helmholtz [16] in 1862 explained the dimension of consonance in terms of the coincidence and proximity of the overtones and difference tones. These tones arise when simultaneously sounded complex tones excite real non-linear physical resonators, e.g. the human ear. To the extent that an interval's most powerful secondary tones exactly coincide, it is consonant or sweet sounding. To the extent that any of its secondary tones are separated in frequency by a small enough difference to "beat" at a rate, which he puts at around 33 c/s, it is dissonant, or harsh. Same effects are observed even when these two sounds are not simultaneous but in succession. A complex wave would give rise to a series of active groups of nerve fibres separated by groups of inactive fibres. The active fibres correspond to partials [12], Recent studies revealed prints of harmonic structures in the auditory cortex A1 [17]. The other theory of preference of pair of tones relies on the similarity of the temporal patterns of neural discharge for tones having simple frequency ratios [18].)»

[22] Schouten 1940, cс. 356-61:
«Це факт, що висота рівна до такої від основного тону приписується навіть тим звукам, у яких основний тон не присутній <...> одна або кілька складових можуть бути сприйняті, які не відповідають якомусь окремому синусоїдальному коливанню, але які є колективним проявом деяких з цих коливань, яких нема або майже не відчути окремо. Ці компоненти (резидууми) мають нечисту, різку тон-якість <...> гармоніки найвищі по частоті сприймаються як особиста складова майже найнижча по висоті (анґл.
It is a fact that a pitch equal to that of the fundamental tone is ascribed even to those sounds in which the fundamental tone is not present <...> one or more components may be perceived which do not correspond with any individual sinusoidal oscillation, but which are a collective manifestation of some of those oscillations which are not or scarcely individually perceptible. These components (residues) have an impure, sharp tone-quality <...> the harmonics highest in frequency are perceived as a subjective component almost lowest in pitch)»

[23] Mersenne 1636, с. 196

[24] Barbieri 2008, с. 7:
«за словами Гафуріо та інших теоретиків, вираз “semitone [фр. demi-tone]” спочатку означал “неповний тон” (а не “півтону”), випливаючи з semus, що означає “неповний” або “зменшений” (анґл.
according to Gaffurio and other theorists, the term ‘semitone’ originally meant ‘incomplete tone’ (and not ‘half a tone’), deriving from semus, which means ‘imperfect’ or ‘diminished’)»

[25] EB 1911, Valves

[26] Когут 2005, с. 102:
«“Ідеальним” рішенням, на наш погляд, було б присвоєння елементам, наприклад звукоряду обертонів (або його необхідного сектора за винятком октавних подвоєнь) відповідних назв і нотних знаків, а відхилення від цих елементів отриманої будови позначати додатковими знаками альтерації <...> На жаль історично склалося так, що властивості розвиненої будови обертонів стали нам відомі набагато пізніше, а до усвідомлення цих властивостей ми кілька тисяч років користувалися іншою будовою - піфагоровим строєм. {lang-ru|
“Идеальным” решением, на наш взгляд, было бы присвоение элементам, например обертонового звукоряда (или его необходимого сектора за исключением октавных удвоений) соответствующих названий и нотных знаков, а отклонения от этих элементов полученной структуры обозначать дополнительными знаками альтерации <...> К сожалению исторически сложилось так, что свойства развитой обертоновой структуры стали нам известны намного позже, а до осознания этих свойств мы несколько тысяч лет пользовались иной структурой — пифагоровым строем.}})»

[27] Barbieri 2008, с. 5:
«Відповідно до західної музичної традиції, побудова першої ска́ли приписується Піфагорові Самоському (6-е століття до н.е.), хто розділив октаву на певне число ступенів шляхом використання ланцюжка чистих висхідних квінт (тобто співвідношення 3:2, найпростіше після 2:1), зведених низхідними октавами (щоб знести всі отримані інтервали в близьке положення). Подібна операція задокументована у китайських теоретиків, від 3 століття до н.е.(анґл.
According to the Western musical tradition, the construction of the first scale is attributed to Pythagoras of Samos (6th century BCE), who divided the octave into certain number of degrees by making use of a chain of pure ascending 5th (i.e. the ratio 3:2, the simplest after 2:1) interposed with descending octaves (to bring all the resulting intervals in a close position). A similar procedure is documented in the Chinese theorists, from the 3rd century BCE.)»

[28] Волконский 1998, сс. 3-4:
«Джерело основних як європейських, так й не європейських звукорядів — спіраль Піфагора, що складається з ланцюжка чистих квінт, які йдуть в нескінченність.

При оцінюванні різних європейських звукорядів, що з'явилися в різні епохи, а також виникаючих з них інтервалів слід завжди пам'ятати про взаємовідносини між спіраллю Піфагора й натуральною гамою.(рос.
Источник основных как европейских, так и не европейских звукорядов – спираль Пифагора, состоящая из цепочки чистых квинт, уходящих в бесконечность.

При оценке различных европейских звукорядов, появившихся в разные эпохи, а также возникающих из них интервалов следует всегда помнить о взаимоотношении между спиралью Пифагора и натуральной гаммой.)»

[29] Coul, List of intervals, 3/2:
«чиста квінта
(анґл.
perfect fifth)»

[30] Coul, List of intervals, 81/80: «синтонічна кома, кома Дідима (анґл. syntonic comma, Didymus comma)»

[31] Coul, List of intervals, 64/63: «септимальна кома, кома Архита (анґл. septimal comma, Archytas' comma)»

[32] Coul, List of intervals, 33/32: «ундецімальна кома, 1/4-тон [чвертинатон] аль-Фарабі (анґл. undecimal comma, al-Farabi's 1/4-tone)»

[33] Coul, List of intervals, 27/26: «трідецімальна кома (анґл. tridecimal comma)»

[34] IEV 1994, гармонічний ряд звуків (анґл. harmonic series of sounds): «основна частота кожного з них є ціле кратне найнижчої основної частоти (анґл. fundamental frequency of each of them is an integral multiple of the lowest fundamental frequency)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-04

[35] IEV 1994, субгармонічний відгук (анґл. subharmonic response): «є субкратним частоти збудження (анґл. is a submultiple of the excitation frequency)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-24-25

[36] Partch 1974, с. 76: «Система музики є організація зв'язків висот, або тонів, одне з одним, та ці зв'язки неминуче зв'язки чисел. Тон є число, а так як тон в музиці завжди чути в зв`язку з одним або декількома тонами ― дійсно чутних або маємих на увазі ― нам є принаймні до двох чисел справа: числа тону розглядуваного та числа тону чутного або маємого на увазі в зв`язку з першим тоном. Таким чином, співвідношення. (анґл. A system of music is an organization of relationships of pitches, or tones, to one another, and these relationships are inevitably the relationship of numbers. Tone is number, and since a tone in music is always heard in relation to one or several tones — actually heard or implied — we have at least two numbers to deal with: the number of the tone under consideration and the number of the tone heard or implied in relation to the first tone. Hence, the ratio.)»

[37] Partch 1974, с. 71: «Інтервал: висотний зв'язок між двома музичними звуками, співвідношення. Інтервал, співвідношення, тон, суть майже синоніми в цьому викладенні; співвідношення є в один і той же час представник тону та інтервалу, і тон завжди має на увазі співвідношення, або інтервал. (анґл. Interval: a pitch relation between two musical sounds, a ratio. Interval, ratio, tone, are virtually synonymous in this exposition; a ratio is at one and the same time the representative of a tone and of an interval, and a tone always implies a ratio, or interval.)»

[38] Partch 1974, с. 67: «У початковому рукопису два числа кожного співвідношення були показані одне над іншим, і ця форма істотна для викладення в певних випадках, "над" число і "під" число часто мають співзначення дуже особливої природи, як буде видно. Крайнощами друкованого набору, однак, було важко зберегти цю форму, де співвідношення зустрічаються в тексті. Обидва числа співвідношення відображаються в тому ж рядку; тому число попереднє діагоналі буде вважатися "над" і число, наступне діагоналі буде вважатися "під". На схемах ці два числа завжди відображаються одне над одним, так що "над" і "під" співзначення, якщо застосовні, є очевидними. (анґл. In the original manuscript the two numbers of each ratio were shown one above the other, and this form is significant to the exposition in certain cases, the "over" number and the "under" number frequendy having connotations of a very specific nature, as will be seen. The exigencies of typesetting, however, made it difficult to preserve this form where ratios occur in the text. Both numbers of a ratio appear in the same line; therefore, the number preceding the diagonal will be considered "over" and the number following the diagonal will be considered "under." In the diagrams the two numbers are always shown one above the other, so that the "over" and "under" connotations, if applicable, are obvious.)»

[39] IEV 1994, стандартна частота настройки (анґл. standard tuning frequency): «для ноти ЛЯ в дисканта [скрипкового ключа] октаві, 440 Гц (анґл. for the note LA in the treble octave, of 440 Hz)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-18

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]